阿娥老師

幾天前我莫名逛去在 ptt 上的 CK-talk , 這個幾乎已經荒廢的建中版. 才發現老同事趙湘娥老師已經在七月二十二日過世。

我遺憾沒有人告訴我這個消息.  我太早進建中教書,  進建中時還是全校教職員中最年輕的. 離開建中至今也十多年了. 當初的同事都是上一輩的人, 現在當家的數學科主席, 讀高中時還是我的學生. 於是, 這幾年, 就不時聽著一些老同事都凋零離開的消息。

在深夜的網路上, 我看到了阿娥老師的紀念影片. 她的溫婉身影如昔, 我又彷彿回到從前在建中的歲月. 那一段無限揮霍, 無限可能, 無所畏懼, 希望滿滿的時光. 只覺時光飛逝, 感慨萬千。

但逝者已矣, 日子還是要過的. 願阿娥在另一個世界也一樣瀟灑自在。

然而就在剛剛, 我在自己的 BBS 留言板亂翻, 隨意翻到了前些日子夢到汝平時, 特別留下的記錄. 這是五年來第一次再夢到汝平了。

看到日期時我渾身觸電。七月二十二日。

汝平是阿娥最好的朋友, 兩人情同姊妹, 真的是情同姊妹。所以阿娥要離開, 不是沒人跟我說, 是汝平來告訴我了。

阿娥和汝平, 你們可以像以前一樣繼續一起旅行, 環遊四海了。


2016, 森棚教官

森棚教官讀書會, 2012-2016 書目

無名小站早就關了, 讓在上面寫部落格的我心灰意冷. 雖然文章備份到另一個站, 我卻忘記密碼而再也進不去. 年進中年, 重新在 Blogger 上開個小空間, 半年來也只寫了幾篇.

 森棚教官讀書會一直在, 雖然大家忙, 見面的機會也少了. 但是書目十年來我從未間斷一直定期公布在 WLMC 上, 無名還在時我偶而半年一年會更新一次. 無名關了, 不知道 WLMC 的人就斷了書目.

所以這幾天收到信, 有人想要知道讀書會的書目, 實在是頗意外且驚喜. 以下是 2012-2016 年的所有選書.

月復一月, 年復一年. 這讀書會也十幾年了......


 ◇ 2012 一月讀書會 推拿
 ◇ 2012 二月讀書會 老虎的妻子
 ◇ 2012 三月讀書會 都嘛是怪腔男孩
 ◇ 2012 四月讀書會 亞細亞的孤兒
 ◇ 2012 五月讀書會 就說你和他們一樣
 ◇ 2012 六月讀書會 我們不完美
 ◇ 2012 七月讀書會 阿特拉斯聳聳肩
 ◇ 2012 八月讀書會 四喜憂國
 ◇ 2012 九月讀書會 印度之旅
 ◇ 2012 十月讀書會 黑面慶仔
 ◇ 2012 十一月讀書會 大師
 ◇ 2012 十二月讀書會 告別的年代
 ◇ 2013 一月讀書會 頑童流浪記
 ◇ 2013 二月讀書會 海神家族
 ◇ 2013 三月讀書會 微妙的平衡
 ◇ 2013 四月讀書會 白雪烏鴉
 ◇ 2013 五月讀書會 愛與黑暗的故事
 ◇ 2013 六月讀書會 回憶的餘燼
 ◇ 2013 七月讀書會 四書
 ◇ 2013 八月讀書會 悲慘世界
 ◇ 2013 九月讀書會 聚會
 ◇ 2013 十月讀書會 迷情書蹤
 ◇ 2013 十一月讀書會 耶路撒冷三千年
 ◇ 2013 十二月讀書會 防守的藝術
 ◇ 2014 一月讀書會 芬克勒問題
 ◇ 2014 二月讀書會 簡愛
 ◇ 2014 三月讀書會 暗房
 ◇ 2014 四月讀書會 雲圖
 ◇ 2014 五月讀書會 羊毛記
 ◇ 2014 六月讀書會 歷史學家
 ◇ 2014 八月讀書會 高老頭
 ◇ 2014 九月讀書會 純真年代
 ◇ 2014 十月讀書會 歐亨利短篇小說選
 ◇ 2014 十一月讀書會 愛瑪
 ◇ 2014 十二月讀書會 娥蘇拉的生生世世
 ◇ 2015 一月讀書會 繼承失落的人
 ◇ 2015 二月讀書會 美麗與哀愁：第一次世界大戰個?
 ◇ 2015 三月讀書會 補玉山居
 ◇ 2015 四月讀書會 我知道籠中鳥為何歌唱
 ◇ 2015 五月讀書會 這不是告別
 ◇ 2015 六月讀書會 上帝之柱
 ◇ 2015 七月讀書會 精靈之屋
 ◇ 2015 八月讀書會 時光的彼岸
 ◇ 2015 九月讀書會 發光體
 ◇ 2015 十月讀書會 烈佬傳
 ◇ 2015 十一月讀書會 邦查女孩
 ◇ 2015 十二月讀書會 拉合爾茶館的陌生人
 ◇ 2016 一月讀書會 教父
 ◇ 2016 二月讀書會 我的秘密河流
 ◇ 2016 三月讀書會 據說，我曾經是人類
 ◇ 2016 四月讀書會 時間裡的痴人
 ◇ 2016 五月讀書會 罌粟海
 ◇ 2016 六月讀書會 河流之聲
 ◇ 2016 七月讀書會 喧嘩與騷動
 ◇ 2016 八月讀書會 蘿莉塔
 ◇ 2016 九月讀書會 火花
 ◇ 2016 十月讀書會 純真年代
 ◇ 2016 十一月讀書會 第五號屠宰場
 ◇ 2016 十二月讀書會 在荒島遇見狄更斯

2016, 森棚教官

六年一覺馬祖夢

六年一晃眼就過去了。六年哪。

上天保佑，父親保佑，弟弟六年來的辛苦馬祖台灣的通勤終於告一段落。是的, 他八月一號調回台灣了。

他可以陪著一歲不滿的小女兒長大，媽媽夜裡也不用再擔心有個兒子在海的另一頭。

前天在高雄跟他見面，我給他一個大大的擁抱。我是想哭又想笑，笨拙不堪，手的姿勢都不會擺了，一句恭喜的話也說不出來。

好瘋狂的制度, 好無奈的制度。但總算熬過來了。

就讓時間去淘選吧。東西遠了，離了，留存的就都是美好的印記。如同我現在記得的馬祖, 印象留在數年前，和媽媽與太太一起去的場景。

弟弟借來一輛車，載著我們四處跑. 天后宮的巨型媽祖雕像, 世界級的芹壁村聚落, 陰暗潮濕不如想像的八八坑道. 有一家店的蚵仔湯和水餃非常美味; 隨便一餐就要上百元的便餐.

勝利山莊裡慌慌張張迎面跑來敬禮的年輕軍官, 居然是我高中導師班的學生; 基地裡聽生澀的阿兵哥作榴彈砲的簡報; 雲台山軍情館裡神秘奇妙的擺設, 以及一府一鑿開出來的坑道.

隔天我們的小艇繞著荒島，成千上萬海鷗響亮嘎叫漫天飛翔，我在甲板上昇華到眼淚狂噴; 還有大坵島上害羞的鹿與一大群放養的黑色土雞, 走在四面環海的山路上, 肆無忌憚的陽光和呼呼的海風。

南竿, 北竿, 東引, 莒光, 從今以後都會慢慢變成某一種遙遠的鄉愁.

恭喜弟弟，總是熬過來了....


2016, 森棚教官

飽和鏈

今年的全國科展結束了.  趁著幾天評審的空檔以及下午, 我把小學國中高中所有作品都看了一遍.

一些理當不會在全國科展出現的,還是偶而冒出來: 比如拿大學或研究所教材的結果讓學生背下來的;  比如題材和方法超過學生太多的,  比如明顯囫圇吞棗的,  比如學生訓練過頭的, 比如老師作的比學生多的.

科展的指導真是一門學問. 但是我們對教師的專業訓練很少有機會教導未來的老師如何作, 大部分老師也視其為苦差事. 想學的在教學生涯中只好摸索. 摸索不出的不得其門而入或走偏, 摸索出訣竅的老師就變成常勝軍. 每年得獎作品的指導老師重複率非常高的原因就是這樣.

城鄉差異還是非常巨大, 即使全國決賽也是一樣.  我想起好多年前評地區科展時的一個場景. 三個純樸的山地小朋友, 笨拙地展示他們用厚紙板剪刀和彩色筆自製的道具, 膽怯地告訴我他們的小小發現, 海報是印表機印出來後的拼貼, 標題是笨拙稚嫩的放大版; 隔壁明星學校的三個小朋友, 用電腦熟練地操作套裝軟體, 展示圖形的動態變換, 一體成形的海報, 參考資料還有英文論文, 充滿自信而且彩排過的口語報告. 兩相對照讓我超級感慨, 揪心難過了一整個晚上.

那一次在隔天的評審會議中, 我強力說服評審團, 最後給了山地小朋友團隊一個小小的獎. 這不僅是我的救贖, 也有可能會是改變他們人生的一個肯定. 偏鄉小孩真的需要肯定和自信心.

但幾年下來讓評審頭痛的作品還有一種難以歸類. 姑且稱為 "熱情滿溢的高級民科". 這種民科的特徵是還真的懂一點, 但是對於"什麼是科學"  的理解有一些根本的問題. 比如說, 以為把符號弄得很複雜就很威, 或是以為有專有名詞就比較威.

小教官現在會從1數到20, 他只會從 1 開始數, 但不會數漏, 而且看心情, 想停就停.

這件事我也可以這樣說.  對於任何下界為 1, 上界為 20 的自然數 n,  小教官都可以在自然數所成的集合 N 按大小關係所形成的偏序集上, 構造一個從最小元素開始到 n 的飽和鏈.

這有比較偉大嗎?

當你看到執迷不悟的民科, 用後面那種方法來幫學生改寫科展報告, 單純直接的 1 數到 20 被改成飽和鏈, 好想法因為無意義的複雜化被忽略. 我不僅為學生惋惜, 還有點火大.


2016, 森棚教官

[歌曲] How fair this spot, by Rachmaninoff

今晚隨機選一首歌來聽. Rachmaninoff 的 op 21.7, "How fair this spot".

這裡真好, 

這裡真好

遠方河面晚霞火紅閃耀

草地伸延如彩色的地毯

白雲飄搖

這裡沒有旁人

只有寂靜

只有神與我

只有野花與一棵老松

還有你, 我的魂與夢

技術層面上這首短短兩頁的歌頗為困難, 最後一句有個高音 B. 要唱高音不難, 難的是譜上標示著 pp (!), 而且前面沒有可以準備的地方, 這是橫空出世的極弱高音 B.

Netrebko 的演唱是最漂亮的, 自然, 不做作, 乾淨.
https://www.youtube.com/watch?v=-FAiFtFgxJQ

Söderström 亦是我喜歡的版本. 可能是我二十年前一開始聽 Rachmaninoff 的歌曲就是聽她與 Ashkenaky 錄的全集, 習慣了她的動量和詮釋.
https://www.youtube.com/watch?v=_SzCUJmgCKA

另外有 Flemming 的美麗演出. 她控制氣息和營造高潮的功力真是出神入化. 聽她如何慢慢堆疊到那個高音 B, 然後懸在那裡, 把你的心釣在鋼弦上. 聽到心跳都加速.
https://www.youtube.com/watch?v=QrYYufeR-Lw

聽聽男高音 Gedda (他已經 90 歲了) 的半假音, 高音 pp 的 B, 真是金嗓子.
https://www.youtube.com/watch?v=s9GjuAppb_0

不可思議的是明顯劣化的 Gheorghiu. 沒想到幾年下來她的音樂品味竟惡劣成這樣, 誇張的聲音, 故做戲劇化的詮釋, 加上非常明顯的走音(!). 雖然現場演唱是不容易, 但是也太誇張了.
https://www.youtube.com/watch?v=3KvzjN2aoPc


2016, 森棚教官

日本歌曲與全音出版社

每隔幾年我會陷入一次歌曲大狂熱. 我的解釋是這是數學研究苦無突破的煩躁副作用, 但誰知道呢.

想想真是很誇張, 下面列出來的每一類, 我都 *很有心得*, 每一類我都能唱 *大於 100 首* 歌: 舒伯特歌曲, 英國民謠, 德國藝術歌曲, 法國藝術歌曲, 臺灣民謠, 中國民謠, 臺灣校園民歌, 臺灣五六０年代老歌, 義大利歌曲, 各國名歌, 百老匯歌曲, 英文老歌....

這真是很誇張, 估計一下我記得的歌曲旋律可能達數千首, 或許還不只。根本是入錯行。

自從京都回來後，新一發的狂熱再度出現陷入日本歌曲的世界. 從日本近代第一首歌 "美しき天然" 到 AKB48, 這一個星期對著譜聽了上百首日本歌. 日本歌曲頗為多元, 演歌 和 J-Pop 有非常不同的語彙.

這幾十年下來, 深深覺得一個國家要保存自己的歌曲文化, 首先要有好的出版社. 古典音樂比如德國的 Barenreiter, 義大利的 Ricordi, 英國的 Peters; 流行音樂比如美國的 Hal Leonard.

日本的全音樂譜出版社是我非常佩服的出版社. 除了出版古典音樂, 也出版高品質篩選過的流行音樂譜.

全音的歌謠全集, 目前已經出到第十本了, 蒐集了近一百年來數以千計的日本歌曲. 這次在京都買全的四大本鋼琴伴奏日本歌曲, 共七百零二首, 也是全音出版. 前者是單線譜加和聲的 fake book (這是專有名詞), 後者加了鋼琴伴奏, 音樂性就更豐富.

臺灣在這一點完全不及格, 我們沒有一個單位或出版社, 來好好蒐集這個國家的歌曲. 從四五十年代的群星會, 六十年代的鳳飛飛, 七十年代的民歌, 八十年代的羅大佑, 九十年代的李宗盛和全盛時期的滾石, 加上幾十年來眾多台語歌, 每一個年代都有上百首歌曲值得留下來. 但是沒有記錄, 隨著時間過去就會淡忘了一切. 共同的記憶隨著世代的衰亡而消失, 好歌再也無人記得.

感慨, 這個國家曾經產出過好多好多, 真的好多, 好聽的歌曲啊! 但沒有一個好的出版社或官方文化單位來好好地編年蒐集, 真的是很可惜的事. (如果哪個出版社或文化部來找我主持, 雖然完全撈過界, 但我會很樂意的.)

2016, 森棚教官

紙工藝

做紙手工藝是從小的嗜好.

聰明又不善與人相處的敏感小孩，在書本中找到寧靜.

這一兩年穩定下來了，終於可以回頭來享受這從小的孤獨樂趣. 研究室和家裡充滿了我的紙工藝, 立體動物, 車子.

懶得也沒空自己設計，都是找現成的，而且不要太複雜, 做起來好看, 心情就好好. 蒐集一堆根本沒空做，但是就是很愉快.

從淘寶買給小教官便宜的紙雕恐龍和車車, 都裁好了圖樣，直接從厚紙板上扳下來, 膠帶黏合就了事. 我做得愉快, 他也愛不釋手. 一本八隻恐龍, 每個星期作一隻.

最近發現珍珠板 3D 拼圖更方便, 一個都十幾分鐘就搞定. 比紙雕方便甚多 (紙雕還要自己剪). 作日本壽司屋，小巧精緻，拉門和窗戶還能開. 放在研究室, 讀書累了就拿起來看看, 超級療癒.

電影大國民的主角大亨臨終前吐出的 "rosebud", 整部片上下蒐羅仍然無解, 但句末一幕才發現不過就是小時的滑板上的字樣. 以前囫圇吞棗看這部片根本不懂，現在我可以體會這種念茲在茲的心情了. 有些東西真的要年紀的.

男人的心中終究永遠有一個男孩子, 我想起我小時候珍視的一本寶貝書, 是日文翻譯的，教小朋友怎麼做紙雕. (幾年前終於買到原版的日文書，成為珍藏). 我依稀看見自己小學時的身影. 跑去巷口的書局買各色的海報紙和複印紙, 然後一個下午桌上就是企鵝, 獅子, 老虎

願自己永不失赤子之心。


2016, 森棚教官

拉馬努金, 數學的孤獨與堅持

上一篇文章介紹了數學家拉馬努金彗星般的一生。他留下大量的材料, 至今仍讓數學家和物理學家有許多工作。

但回顧拉馬努金短短的一生，不禁有許多感慨。離開印度到英國，是讓他成為頂尖的數學家，卻也害了他水土不服三十二歲早亡。如果留在印度，是否就能安享晚年? 或者如果能適應英國，多做三十年數學，當代數學的風貌是否會很不相同?

這些沒有答案的問題，一直困擾著邀請他去英國的哈代。電影 “天才無限家” 中拍出了哈代的失落，拍出了拉馬努金的掙扎, 也拍出了兩人交鋒的火花.

哈代不只一次問拉馬努金, 到底你是怎麼思考的? 那些傾洩而出的神秘等式是怎麼發現的?。拉馬努金總是回答，我向印度家鄉的女神祈禱。每天早上醒來時，我就把女神告訴我
的式子寫下來。

無神論者哈代無法接受。他們兩人思考方式完全不同。純粹數學是一種需要高度智力的思考活動. 過程人人不同. 因此從這個角度來說, 數學家都是孤獨的.

哈代有伯樂的眼光, 他完全知道拉馬努金是千里馬. 但是他也知道拉馬努金一定需要紮實的數學語言訓練，才能跟數學界溝通, 從而被承認肯定.

再怎麼有才華的鋼琴家, 還是要練音階. 但是練基本功需要時間. 拉馬努金急著把滿溢的成果傾倒而出. 他不明白數學語言的必要, 為什麼要這麼慢, 哈代竟然還要要求他去課堂上聽課!

他對哈代大吼, 我放棄了一切來到這裡! 你知道嗎!

每一個數學家都會說數學很美麗。而且就是為了這種不可名狀的美麗, 甘心獻身投注一輩子的時光. 片中有一幕我非常喜歡。哈代問拉馬努金, 為什麼要寫下這些東西. 拉馬努金眼睛閃著光芒回答說, 我必須要做. 這是我的天命.

所以數學家想留下什麼呢?

數年前某個陰熱的下午, 我到中央研究院數學所查資料. 中研院數學所圖書館有非常驚人的紙本期刊收藏, 重要期刊都全套齊全, 從上個世紀初一直到現在, 一期也不缺. 每本期刊在這裡都已經靜靜放了數十年。

我在闃黑, 深幽, 高聳的書架中裡穿梭, 在數以萬計的館藏中, 尋找翻閱十年前, 二十年前, 甚至五十年前出版的論文. 在字裡行間讀著早已作古的同行前輩數學家的想法, 隔著時空與他們對話.

離開前, 我順道翻開了一本期刊, 上面有我自己十幾年前第一篇出版的學術論文. 數學定理一旦證了出來, 不管是多麼渺小的成果, 它就是永恆的. 我知道如同其他數以萬計的論文一樣，它會一直留在圖書館中, 五十年, 一百年, 等待下一個求知若渴的學生或是學者, 再度翻開.

與古人對話, 留下自己的成果, 與未來的人對話. 在時空中, 留下永恆的印記. 這是數學家的堅持與夢想.


2016, 森棚教官. (原文應天才無限家之威視影視邀請撰寫, 刊登於天下文化網路版.)

彗星般的天才數學家 — 拉馬努金, 註記

上文中, 一些數學的註記 (就是太複雜或專業而刪掉的部分)

用無序的正整數湊成 n 的方法數叫 partition number p(n).

Euler 很早就給了 p(n) 的生成函數. 令 P(z) = sum p(n) z^n, 則

          P(z) =  product 1/(1-z^k)

"理論上", p(n) 就是 P(z) 的 z^n 係數 (為方便記為 [z^n] P(z)). 但是這實際上對於算出 p(n) 的精確值是多少, 基本上沒什麼幫助. 比如說, 你怎麼說明

        [z^1000] P(z) = 24061467864032622473692149727991

呢?

在 Hardy-Ramanujan 的突破性進展之前, 關於 p(n) 的精確值最好的結果是 Hardy 的同事 MacMahon 得到的遞迴式

   p(n ) = p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) - p(n-12) - p(n-15) + + - -...

其中括號中 是 "n-五角數". 五角數是 n*(3n-1)/2, 這裡 n 可代非零整數. 這個公式的推導基本上只用到 Euler 的五角數定理與上述的 P(z). 所以, 的確, 在 n 夠小的時候, 是可以用這個方法求出 p(n). (附帶一提, 即便有下幾段的結果, 據我所知目前為止此式仍然是最有效率求 p(n) 精確值的方法.) 但是即便有 MacMahon 的遞迴, 對於一般的n, 連 p(n) "大概有多少" 仍然束手無策, 更遑論精確值了.

換個想法, 既然有 P(z), 那用複變的柯西積分公式 (contour 積分的手法), 把係數取出來不就得了. 是的, Hardy-Ramanujan 就是走這條路.

Hardy-Ramanujan 的突破是用複變, 首度給出 p(n) 的漸近式

           p(n) ~  1/(4*n*sqrt(3)) *exp (pi* sqrt(2n/3))

事實上 Hardy-Ramanujan 給了更精確的漸近展開式. 以上是主要項. 那個更精確的式子誇張到無法形容. BBS 太難打了 可找下列連結網頁搜尋 "asymptotic expansion"
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

電影 "天才無限家" 中 Ramanujan 在 Hardy 辦公討論這個問題, Ramanujan 在黑板上算的就是 contour 積分.

電影中有一幕相當精采. Hardy 苦心想讓 Ramanujan 被劍橋的同事承認, 於是拿這個還不太有把握作出來的結果去跟 MacMahon 打賭. MacMahon 是組合學的大師, 他用手算算到p(200)=3972999029388, 根本不相信 Ramanujan 能有什麼突破. Hardy-Ramanujan 用他們的漸近公式的主要項就得到非常接近的值. 兩造翻牌對答案, MacMahon 從原本對Ramanujan 嗤之以鼻, 變成大力擁護.

那到底 p(n) 有沒有精確公式? 有的, 有一個 "無窮級數和公式", 直到 1937 年才由 Radamacher 做出來, 他一樣走複變路線, 引進新的方法改進了 Hardy-Ramanujan 的結果. 這個無窮級數和公式也是很微妙, 比如要算 p(200), 要把無窮多項相加, 加完之後就得到答案.

你想, 這是搞什麼, 要 "加無窮多項" 才得到答案, 這公式有用嗎? 有的. 這個無窮級數會收斂, 而且收斂得非常快 (就是說, 只要加了前幾項剩下的都是小數點, 後面微不足道了). 以 p(200) 為例, 這無窮多項只要算到前七項就有

3972998993185.896...
       +36282.978...
          -87.555...
           +5.147...
           +1.424...
           +0.071...
           +0.000...
           +0.043...
= 3972999029388.004...


那公式長怎樣? BBS 上太難打了. 一樣參考下列網址尋找 "Radamacher" https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

而且看完後, 會覺得 MacMahon 的遞迴式子還比較有用一點.

Ramanujan 在 p(n) 的發現不只如此. 比如, 他看出了 p(5k+4) 一定是 5 的倍數, p(7k+5) 一定是 7 的倍數, p(11k+6) 一定是 11 的倍數. (下一個類似的性質是p(17303k+ 237) 一定是 13 的倍數 (!), 要到 40 年後的 1960 年才被找到.)

又比如神秘的 Roger-Ramanujan 等式, 其中一個是"相鄰兩數至少要差 2" 的湊 n 方法數 = "每個數要除以五餘 1 或 4" 的湊 n 方法數這個等式居然和高能物理有關.

p(n) 的研究至今仍非常活躍, 還有非常多神秘的問題未解.

最後推薦一下 "天才無限家" 這部電影. (感謝片商為了寫推薦文先讓我一睹黑白版毛片) 這部電影並不灑狗血, 但是把數學家的一些心路歷程拍得深刻而感人.

唉, "理論上" p(n) 就是慢慢列出來再數一數有幾種就好了不是嗎, 數學家這麼辛苦在追逐什麼呢. 這真是不足為外人道也. 一歎.

2016, 森棚教官

彗星般的天才數學家 — 拉馬努金

1913年春天，當時全世界最好的數學家之一， 英國劍橋大學的戈弗雷‧哈羅德‧哈代（G.H. Hardy） 接到了遠從印度寄來的，郵戳 1月16日，一封厚厚的信。開頭寫著：「敬愛的教授，我是馬德拉斯的一個職員，現年23歲。這些是我的發現，可以幫我看看嗎。」接下來是一長串的十多個數學公式，只有式子，沒有前後文，沒有理由。

貌似無厘頭的式子寫滿了九張信紙。哈代一開始以為是惡作劇。但是愈仔細看信就愈看愈怪—這些式子好像都是對的。不僅如此，有好多個式子他從沒看過；更誇張的是，連他也無法證明！驚愕之餘哈代找來他的數學家好友約翰‧恩瑟‧李特爾伍德（John Edensor Littlewood） 一起端詳這九頁的信。他們的結論是，這是一個不世出的天才。

2月8日，哈代回信，邀請這個神秘的天才年輕人到英國來討論數學。

這個寄信的年輕人叫斯里尼瓦瑟‧拉馬努金（Srinivasa Ramanujan），有史以來最神奇的天才數學家。

1913年距今一百多年。那時沒有電子郵件，沒有行動電話，沒有民航機。遠渡重洋，就要遠離家人，遠離年輕的妻子與年邁的母親，遠離過去，遠離熟悉的一切。幾經周折，女神在夢中說服了拉馬努金的母親。拉馬努金終究離開印度，踏上未知的路。

到了英國，拉馬努金隨即面臨巨大的衝擊。以數學的角度來看，一個式子不管看起來再怎麼奇妙，一定要有證明才能保證正確。但是拉馬努金沒有受過完整的高等數學訓練，在印度幾乎全憑直覺與自學，他不覺得“把證明寫下來”是一件重要的事。因此他在英國等於要重頭開始，他花了許多心力熟悉數學的語言。皇天不負苦心人，拉馬努金和哈代不久就合作寫出一篇傑作。

這是連幼稚園小朋友都懂的問題。如果只能用正整數和加號，有多少種方法可以湊成4？答案有五種。

                  4， 3+1， 2+2， 2+1+1， 1+1+1+1

（順序不計，3+1 和1+3當作同一種）讀者可以現在試試，有七種方法可以湊出5。

這裡挑戰一下讀者，若湊成10有多少方法？答案放在文末。

是的，慢慢試好像還是可以得到答案。但很快地情況就難以控制了。你無法想像湊成100有190569292， 超過一億九千萬個方法！那有多少方法可以湊成1000， 或更大的數？歷代數學家完全束手無策，但這又是數學上根本的重要問題。哈代和拉馬努金得到了估計公式，用他們的公式得到的答案與精確值的相對誤差可以接近到零。電影《天才無限家》生動描述了用他們的公式估計出湊出200的方法數是如何震攝了數學界。

這篇劃時代的論文讓拉馬努金一夕成為最頂尖的數學家之一。他和哈代再接再厲， 合寫了許多文章，每一篇都擲地有聲。1918年，拉馬努金被選為英國皇家學會會士與劍橋大學三一學院院士。

但命運之神就是這樣捉弄人。 印度四季酷熱，英國冬天濕冷。拉馬努金吃素，但正值一次大戰的英國蔬菜短缺。營養不良、不適應天氣，加上思鄉，拉馬努金病倒了，醫生診斷是嚴重的肺結核和維生素缺乏。1919年，他決定回家。回到印度後不到一年，拉馬努金就過世了，得年32歲。

拉馬努金研究的領域是「數論」與「組合數學」。數論是研究整數的學問，而組合數學也稱為離散數學，在電腦科學上有著廣泛的應用，同時也是密碼學，人工智慧、資料庫、演算法設計與分析的理論基礎。他發表的論文包含了許多嶄新的原創想法，對數學和物理的理論推展發展有巨大的貢獻。身後留下的幾百頁的筆記本中有數以百計的式子，到現在仍然迷惑著數學家。數學界甚至有個高品質的學術期刊，就叫做拉馬努金期刊，刊登與拉馬努金的研究有關的論文。

就在下個月，描寫他一生的傳記電影《天才無限家》（The Man Who Knew Infinity）即將上映。 趁著4月26日是拉馬努金的忌日，在此僅用這篇文章紀念這個雖像慧星一樣一閃即逝，但耀眼的光芒到現在仍然閃耀的天才數學家。

（文中問題的答案：湊成 10 共有 42 種方法。很不好算吧！）

2016, 森棚教官. 原文應天才無限家之威視電影公司邀請撰寫, 刊登於天下雜誌網路版. 

ISEF 2016 數學科首獎

前天傳來好消息, 霈萱在美國ISEF 2016 拿到數學科首獎. 我是又驚又喜.

今年這件代表作品, 當初台灣的評審團是勉強推薦的. 霈萱非常努力, 的確做出了一些新的性質. 為了避免捉刀, 這兩年評審時我們特別盯著作品細問學生, 直到確定這鐵定是學生自己做的. 但是問題是, 這件作品是 150 前的射影幾何題材，Pascal 定理和 Bianchon 定理, 真的是太老了. 而且 150 年文獻如山一樣多，你想得到的點子別人都想得到啊. Google 一下有好幾萬筆資料耶, 幾個月都看不完. 所以誰知道這些新結果是 *真的* 新的結果, 或是出現在幾十年前的哪裡呢? 所以評審團真的很猶豫 (事實上每個評審都很猶豫).

但科教館堅持數學不推薦不行, 否則堂堂臺灣, 不推數學作品像話嗎, 於是就推薦了.

去年數學臺灣推了兩件去美國比賽, 其中一件拿到特別獎的數學會四等獎, 但大家最看重的大會獎兩件都槓龜, 科教館今年壓力就變大. 是的, 科展的確是不要把得獎看得太重比較健康. 但是, 一來, 臺灣的處境, 導致國家必須重視所有類似的國際比賽 --- 說實在, 出國比賽的教授和選手, 都有很強的使命感. 二來, 說不想得獎是假的, 哪一個奧運選手一開始就認定自己是去陪跑的? 三來, 這些作科展的學生對科學有大熱情, 想要被肯定的渴望和出國和各路好手爭峰心情一樣興奮 -- ISEF 是高中科展的天下第一武道會啊.

但是 ~~~ ! 就是這個但是~~~ ! 因為霈萱讀麗山, 麗山在台北. 所以從二月開始到五月出國比賽的其間, 作品數學部分的指導教授就變成我了. 科教館亦安排師大科教所譚老師加強英文部分 (他是香港人, 英文地道).

我也曾是猶豫的評審之一. 怎麼辦? 仔細思量後, 內容雖然一樣就是霈萱做的結果, 但是改成現代數學的思維來寫 --- 把純幾何的靜態問題, 變成研究算子之下的圖形變化.

海報就這樣一路大改版. 感謝好脾氣的譚老師, 我的數學部分一直改來改去, 他就只好每個星期重新幫霈萱看新的講稿. 霈萱這學生很不簡單, 抗壓性和調整能力非常高. 最後的出國海報版本, 基本上在 3/31 才定調 (剛剛複習了 email, 凌晨 2:08分 (好慘) 我寄出定調的海報. 早上 8:30 霈萱回信, 下午 1:30 譚老師回信), 這個版本和她當初國內參賽的版本觀點 *完全不同* --- 這表示她所有的海報和口語演示與對話要 *全部重來* . 離出國只有一個月了, 一般學生早就崩潰了, 但是她 EQ 甚高, 永遠溫溫笑笑地. 真的是一個不簡單的孩子.  

她來師大找了我三次, 其中兩次麗山的老師也一起來. 每次我們都從四點半討論到六點半, 從天還亮著, 討論到天暗肚子餓. 我的博士後每一次都被我拖下水來聽簡報. 中間有一次星期日, 我帶太太和小教官去科教館 (他超喜歡恐龍餐廳), 中間有一段時間我太太還被我拉到十樓培訓會場, 聽霈萱簡報. 三歲的小教官在旁邊不耐煩地扭動, 心裡只惦記著樓下的恐龍. 是的, 下次星期天你到科教館參觀時, 不要忘記十樓有一群教授和學生, 以及科教館的同仁在努力.

去年沒有數學科教授隨團, 今年科教館原希望我隨團. 但如果如此, 從二月到五月每個星期日, 都要去科教館一整天一起培訓各組代表. 小教官年紀尚小, 台北羅東分隔兩地, 我陪他的時候本就只有假日. 復以隨團五月出國十幾天, 五月底我自己還要去京都開會. 這樣不僅整個下學期假日就沒了, 而且學校的正課會亂成一團, 整個五月都不上課太不像話. 所以, 最後還是拜託譚老師隨團出國. 我和譚老師是合作愉快, 真的非常高興有這樣一個伙伴.

出國前我心裡預設最好情形是, 特別獎拿到數學學會三等獎, 大會獎三等或四等, 這樣就非常滿意. 如果什麼都沒有, 也沒關係, 本來科展拿獎就是說不準的. 去年嘉峻那一件動態系統, 我也覺得精彩, 但什麼也沒得到.

結果, 前天頒獎，霈萱拿到三個獎, 其中兩個居然是超級大獎:

1. 特別獎: 數學學會第三獎.
2. 大會獎: 數學第一名. 這是台灣暌違近二十年的數學第一名.
3. 還要被選去歐洲參加青少年科展, 這是數千件中只選三件的大榮譽.

我的天啊!

我替霈萱和她的指導老師林永發老師非常高興. 幾次在師大的討論, 就知道他們花了多少的心血在這個科展上.

這十幾年來我幫科教館帶 ISEF, 數學已經拿了好幾次大會二等獎, 但是都和一等獎無緣. 我自己沒有什麼執念, 不只是得獎與否很難說, 更因為心裡有底, 大概要作到什麼境界 (過去有兩個二等獎是我給的題目, 拿到 ISEF 的二等獎後, 繼續發展, 都變成學術論文, 一篇在 Advances in Applied Mathematics, 一篇在 Journal of Combinatorial Theory, series A. 這兩個期刊可不是開玩笑的). 一等獎我是根本不敢妄想的. 結果今年在無心之下拿到了, 真的是我完全沒預料到的. 謝謝霈萱, 也算圓了教官的一個小小願望.

得獎或許有一點運氣, 但是過來人都知道過程絕沒有僥倖. 這個問題她整整做了兩年多. 幾十個新的定理, 每一個都是心血結晶.

總之, 恭喜霈萱. 學術之路, 有這樣一個好的開始, 是非常美好的.

2016, 森棚教官

古典音樂十二嘆

古人有謂恨紅樓夢之未完, 聽古典音樂數十年, 我也有諸多遺憾.

一嘆 Schubert 太早死, 他的作曲成熟如此明顯, 天分到圓熟. 最後幾年(他只活了三十一歲!) 作品已經臻入神境. 如果能再活三十年....天啊, 真不敢想像. 這真是音樂史上最大的遺憾....
     https://www.youtube.com/watch?v=JTR4KiwrwFs 早期作品, 野玫瑰
     https://www.youtube.com/watch?v=LiVoJccyi6E 中期作品, 繆斯之子
     https://www.youtube.com/watch?v=EqO68yX1-do 晚期作品, 漁人之愛

二嘆 Bellini 太早死, 他僅存的一些些歌曲每首都好聽, 旋律自然湧出, 火光四射...
     https://www.youtube.com/watch?v=Le-yYzJCP2k  Dolente immagine..
     https://www.youtube.com/watch?v=Xqi5K73gzAo  Vaga luna..

三嘆 Bizet 太早死, 這也是一個天才, 留下只有一點點的作品, 旋律好得不像話, 完全橫空出世--
     https://www.youtube.com/watch?v=SFENybsBDRw

四嘆 Dvorak 為什麼歌曲寫不出色. 他的旋律性這麼好, 為什麼為什麼??
     https://www.youtube.com/watch?v=1foF1Ts8IKw

五嘆 Mendelssohn 不敢改變. 從十七歲到死去的三十多歲, 風格一直一樣, 乾淨端莊, 但是就是缺了一點點變成真正大師的東西.
     https://www.youtube.com/watch?v=FtQoR4U4bYo  20 歲作品
     https://www.youtube.com/watch?v=F7P6YBc9KFA  36 歲, 死前兩年作品

六嘆 Liszt 樂思不高. 有這麼棒的技巧, 為什麼沒有給他一個夠高的格調...

七嘆 Handel 重複太多. 為了賺錢, 寫太多相同的東西了.

八嘆 Rossini 浪費才氣. 可以一個星期寫一本歌劇, 這種才氣! 旋律又是嶄新不俗氣的, 如果能好好經營...

九嘆 Beethoven 的失聰. 但是誰知道, 如果他耳朵是好的, 就沒有這麼好的作品了. 這樣想來好殘忍.

十嘆 Faure 的幻聽. 替他可憐, 腦中重複聽到同一個音高真的會抓狂.

十一嘆 Brahms 的無旋律. 作曲技巧和格調這麼高, 但是就是天生不會寫旋律.

十二嘆 Sibelius 生錯時代.. 他的浪漫作品這麼好, 但是周圍的風格已經往前跑到印象和現代了...

唉, 可嘆的事太多了....


2016, 森棚教官

毛鉤釣

讀閒書, 一篇關於毛鉤釣的散文.

毛鉤釣是高手等級的釣魚. 沒有倒鉤的鉤子裝飾成昆蟲, 甩竿拋線入水, 魚以為是昆蟲就上當. 毛鉤釣魚的目標通常是中大型的鱒魚鮭魚, 上鉤後就是人與魚的生死拼搏. 釣魚老手只追求勝利的經驗, 所以釣起來的魚, 通常脫鉤拍照後旋即放生.

因為這篇文章, 我回憶了從漫畫 "天才小釣手" 學來的, 關於毛鉤釣的種種. 順帶亦習得許多毛鉤的原文, Greenwell's glory, Coch-y-bonddhu, Silver Doctor.

文章談釣虹鱒. 這種魚只出現在西北邊美加交界處的激流. 天然虹鱒極少, 對釣魚者來說, 釣上一尾天然的紅鱒有如中頭彩一樣困難. 但是你怎麼知道釣上來的魚是天然的還是人工繁殖後再野放的? 這文章就讓我開眼界了 ---  鱒魚這種魚類, 在背鰭和尾鰭之間還有一個脂肪鰭 (adipose fin). 人工繁殖再野放的紅鱒, 野放之前會一隻一隻用人工把脂肪鰭剪掉! 所以, 看看釣上來的魚有沒有脂肪鰭, 就知道是否是天然鱒魚了.

這是養殖工廠剪去小魚脂肪鰭的過程.
https://www.youtube.com/watch?v=SeITultE6G4

將太的壽司畫了這麼多集, 居然沒有一集講到這個關鍵判別法. 我猜是知道的人太少了.

一條魚剪去整整一個鰭真的沒關係嗎? 我發揮學術人的壞習慣查了一下, 脂肪鰭的功能目前似乎不明. 學界還真沒有太多文章, 有一篇是說有脂肪鰭的魚游泳能力多 8%. 但目前確定的是, 脂肪鰭和脂肪一點關係也沒有, 反而是內有神經系統. 因此學者臆測會這和激流中的游泳能力有關 --- 脂肪鰭能提前感應激流, 使尾鰭可以更快反應. 如果能量化, 這是一個極好的研究題目. 可惜我是做數學的.

上網找毛鉤釣的影片, 連到了勞勃瑞福執導的電影大河之戀. 劇中人與魚拼搏那幕, 是年輕的布萊德彼特. 看他稚氣的年輕, 真是歲月不饒人哪.
https://www.youtube.com/watch?v=bI8SviHawBo

順帶一提, 大河之戀的配樂頗值得一聽.
https://www.youtube.com/watch?v=VNyfXO3p03U

我從不敢釣魚, 小時候跟表哥去釣魚只站在旁邊看, 想像鉤子鉤住嘴巴就覺好痛. 我至今仍怕死魚眼, 所以讀讀文章, 想像釣魚的湖光山色和浪漫也就好了.

2016, 森棚教官

魯拜詩

最近迷上波斯詩人奧瑪珈音 (Omar Khayyam, 1048-1131) 的魯拜 (rubaiyat) 詩.

魯拜詩每一首不過短短四句, 但奧瑪珈音的魯拜詩格調絕高, 如同是 Wolf 一兩頁藝術歌曲, 或是 Schumann 一兩頁的鋼琴小品, 更像中國的七言絕句.

那是大選前夕的深夜. 因緣際會讀到 Fitzegerald 翻譯的魯拜集第一首以及傅正明的中譯, 格局之大, 我渾身觸電一般，深受震撼:

     Wake! For the Sun who scatter'd into flight
     The Stars before him from the Field of Night
     Drives Night along with them from Heav'n, and strike
     The Sultan's Turret with a Shaft of Light

     東君醒看寒星瘦
     出海紅輪溢暖流
     光箭滿弓驅黑夜
     金鋒直射蘇丹樓

好個光箭滿弓驅黑夜，金鋒直射蘇丹樓!

2016, 森棚教官