溫存

前晚十點師大合唱團的指揮老師 Line 我, 央我隔天晚上幫忙帶團練. 因為再過三天要演唱會了, 指揮老師家裡有事, 加上天氣多變助理指揮重感冒. 所以身為行政指導老師的我只好義不容辭, 在午夜之前火速讀了十首歌的譜, 其中只有兩首我聽過.

隔天早上一名學生從國外回國來訪, 下午滿堂, 接著就是晚上三個小時團練. 三個小時過去, 重新溫存了指揮的回憶與樂趣, 但是好累. 雖自知體內的音樂仍在, 甚至有些東西因為這幾年的沈潛, 反而更加圓熟了. 但中年大叔的身體已經沒辦法像以前一樣精力充沛, 表達的能力和比喻的能力也生疏了. 也因為世代隔閡或第一次帶他們, 一些情緒不易有共鳴, 一些比喻不容易傳達. 復以一些歌裡的感情, 真的需要夠多的生命體驗才會懂. 不過大家很努力, 有些樂段的音樂真的對了, 我也很滿意了.

比較感慨的是更深層難以言說的世代差異. "靜" 是需要學習的, 也需要內化的時間. 但現在的年輕人成長過程中, 從我們這個世代個人風格的過份壓抑, 轉而被新世代過份鼓勵自我表達的自由. 過猶不及, 從而就是我們這個世代弱化的思辯, 彈性與出格創新能力, 以及新的世代急著展現自我而沒有養成聆聽的習慣與耐性, 更沒有學習去意識到自我個體對整個空間的或整個團體的責任感. 兩個世代的巨大差異, 在教書二十幾年的課堂上有愈來愈深的感觸.

比如合唱, "準備唱" 的靜默是需要全神貫注的, 準備進入曲子是需要醞釀的. 昨晚每首練唱, 大家都很認真也很興奮, 但是永遠都是開始前最後一刻才能靜下來, 在輪到自己時才進入曲子. 音樂還是美麗, 但是多了一點浮躁氣, 就有點可惜了. 從去年觀察到現在, 這儼然是壞習慣, 我點到為止, 就看看學生能不能理解了.

不過我還是感謝指揮老師讓我有這樣的一次意外溫存的機會. 這種事偶一為之是很有趣的, 但要我現在再每個星期練唱, 像以前一樣 (二十年了!) 用著滿滿熱情, 瘋狂到同時指揮四個團, 不顧一切地燃燒與放肆, 不管是體力或是能力, 都已經是根本不可能的事情了.

青春真的只有一次, 要好好燃燒, 才不會後悔. 這樣以後就可以像教官一樣, 充滿自我吹噓, 倚老賣老與嘮叨的材料. 多希望現在我的學生, 不管是不是合唱團的, 都可以了解這種美好啊.

2018, 森棚教官

近鄉情怯

下下個月是我這一屆的 *建中三十*, 就是畢業三十年的同屆校友回母校聚一聚. 我曾回建中服務, 所以理當被抓回去當召委. 然而我實在忙到無法分身, 感謝總召的理解與體諒, 我成為掛名卻沒做事的冗員.

召委們非常辛苦, 各班委的聯絡也如火如荼, 但本班聯絡的情況頗不順利. 這是一個聯考成績不俗 (全校升學率最高, 二類組平均第一, 六科中更有三科全校最高) 實際上卻亂七八糟一盤散沙的班. 畢業後一次同學會之後再也沒下文 (或許我是被忽略的班邊也說不定). 總之, 努力很久, 到現在才找到六個. 而且, 本來就沒什麼交集, 三十年後突然要敘舊, 也是頗尷尬的.

其他班也有班委說, 明明有找到人, 但是卻擺明不想出席, 有點洩氣.

敘舊不免會聊近況. 過得不順利的, 出席的動力就低了. 過得順利的, 也不是每個人都習慣交際的場合. 每個人成長軌跡都獨一無二, 有一些人根本不想回顧高中歲月, 就像我不願回顧剛入學術界的那一段壓抑時光一樣. 這種事情, 不要勉強.

但對於建中三十, 我更多的心情是近鄉情怯. 尤其是, 我從建中畢業了兩次. 一次在台下, 一次在台上.

上個星期, 我應國教署邀請到某校擔任資優班評鑑委員. 中間有個環節必須和幾個該校老師聊聊. 於是我就與高一資優班導師聊了一下.

他是校友, 讀書時就立志要回母校教書, 現在也如願了. 然而他卻說, 前幾年他一直想辭職, 然後周圍的人都非常不解.

我問為什麼. 他幽幽地說, 他看到現在的學生的樣子, 無法和自己以前當學生的樣子對在一起. 回憶中的榮光, 身為這個學校一份子的驕傲, 在這個世代的學生身上所剩無幾. 也許時間是把回憶美化了, 但兩者落差的強烈失落感無人理解, 也無處傾訴. 也許, 眼不見為淨會更快樂.

一時間我無法言語. 你不會知道, 要對母校有強烈的熱愛, 才會有這樣的感慨. 要對教育有強烈的理想, 才講得出這樣的話.

我說, 我懂. 我也是高中時, 就立志要回建中教書的. 我有一樣的感慨, 有一樣的燦爛回憶與一樣的失落. 在那個時刻, 我和他有了難以言傳的共鳴.

我人生第一次徹底的戀愛, 是愛上建國中學. 在迎新晚會的觀眾席上; 在建中青年的字裡行間; 在操場漫天黃沙的踽踽獨行中. 校慶前夕亮晃晃金黃色的南海路; 燈火通明五彩繽紛徹夜不眠的教室; 社團裡一起笑一起哭的兄弟; 格物樓裡走音的鋼琴. 這個學校完全打開我的眼界, 讓我見識到什麼是才氣與優秀, 教會我努力與謙虛, 讓我體會什麼是青春和燦爛, 帶我結識了一輩子的朋友. 直到現在, 即使我常常回建中開會, 走進建中, 我仍會悸動. 走在紅樓的迴廊, 我仍心存敬畏.

說 EQ 太低或鴕鳥心態也罷, 說多愁善感或太浪漫也罷. 但是, 有時讓回憶停格在最美的一刻, 也是一個選擇.

但無論何時, 聽到校歌我仍會熱血沸騰. 體格強, 志氣大, 勞不辭, 苦不怕. 樂群敬業, 忘己利他. 知恥力行, 愛校如家.


2018, 森棚教官

種豆南窗下

在高雄時我曾在窗台用紙杯種過波斯菊 (後來生出一堆毛蟲把葉子咬光), 小白菜 (也是引來小紋白蝶把葉子咬光), 紅莧菜 (這個在紙杯中長一叢甚是好看, 但是不耐久), 小南瓜 (這個大成功, 一彎南瓜藤迆邐垂出窗外, 還開了一朵非常美的黃花, 可惜沒有授粉, 也就沒有結果).

現在台北窗台邊有四小盆兩紙杯美鐵芋, 桌上也有一紙杯. 都是小小的一株或兩株, 每一株就是乾乾淨淨的兩片葉子.  這是高雄那棵十幾年元老的葉子插在土裡長出來的兒女們. 這植物非常有趣, 每年快速長大只有短短一陣子, 接下來就要再很久. 我看這樣亭亭玉立, 八成要等到明年才會再發新芽.

前陣子種了幾杯波斯菊. 這個理當很好種的植物, 卻因為台北研究室窗戶向南日曬不足, 發芽的苗總是徒長然後枯萎. 之前在校園裡的幾個花盆偷偷播種一些, 也被校工當作雜草刈掉了.

中秋節得了一些原生種的柚子, 裡面種子一大堆. 想起高雄系辦公室的可愛柚子盆栽, 於是上星期心血來潮買了幾個小盆種下. 網路上說只要兩三個星期, 苗就會長出來了, 而且可以撐半年一年. 這樣可以和幾個美鐵芋的苗作伴.

但我是衝動型的, 於是又種了一些大豆與綠豆.

前天 E 在家裡做爆米花, 我捏了一撮爆米花的玉米泡在水裡, 賭賭看會不會發芽. 泡水泡了兩天, 今天還真的發芽了.

所以現在窗台上排滿了小杯子和小花盆, 一共十幾個. 我已經搞不清楚哪一杯是什麼了. 除了綠豆以外 --- 綠豆長得非常快, 前天泡水, 昨天軟殼, 種下後今天就冒出一些小苗了. 但豆科的植物一長大形狀就難以控制,  不知能在紙杯中撐多久.

讀書是孤獨的, 種豆南窗下, 總是要找一些樂子. 種子發芽的機制如此神秘, 只覺生命真是奇妙, 提醒自己勿忘謙卑與尊敬自然.


2018, 森棚教官

獨按 Wolf 的 Eichendorff 歌曲

下個月預定要去音樂廳, 聽 Wolf 整本的 Eichendorff 歌曲 (以及六首 Morike 歌曲選曲).

當今古典音樂如此小眾, 其中的藝術歌曲又是小眾, Wolf 又是藝術歌曲中的小眾, 然後Eichendorff 又是 Wolf 歌曲中的二線曲目.

這個 *小眾四次方* 的東西, 根本已經和 epsilon 差不多. 我真的超級懷疑不動員的話, 會有多少聽眾. 上次到音樂廳聽一場藝術歌曲演唱會, 中間還穿插精彩的曲目介紹, 但是沒有動員的結果是觀眾稀疏到讓我覺得對不起台上的藝術家.

這次主辦音樂會的是高中學弟, 知道我喜歡藝術歌曲, 給了我一張貴賓券.

為了感謝主辦的學弟與歌者, 不辜負這張貴賓券, 不辱 Wolf, 不辜負歌者與伴奏, 也為了重拾我年輕的熱情, 我把 Eichendorff 歌曲的譜找出來, 從上上個星期開始, 唸書累了就坐到鋼琴前, 一首一首按過一次, 一邊隨口亂哼. 上一次認真聽 Eichendorff 歌曲是好久好久以前了.

好美的音樂, 好美. 每首歌曲就是一方天地, 短短的兩三頁是一個世界. 好感嘆, 懂得品味 Wolf 的人真是太少了.

2018, 森棚教官

薩爾茲堡

這星期到薩爾茲堡郊區的湖畔小鎮 Strobl 開會。趁著回國前的最後一天，在薩爾茲堡走馬看花。第一次到薩爾茲堡，我這麼愛古典音樂的人，料想應該會潸然涕下。但是沒有，完全沒有。復以莫札特一直不在我鍾愛作曲家的前五名之中，年少時對那個地方憧憬與想望，心情已不復見。

薩爾茲堡靠著莫札特，已經全然觀光化。莫札特的出生地和住處，這兩個最重要的景點，賣的紀念品竟然平庸無比，又昂貴無比。

唯一讓我心情起波的，是站在莫札特出生的那個房間時。那是一個土窯一般的，小小的斗室。這間斗室裡有個非常小的展示品，是莫札特的頭髮, 還要用放大鏡才看得到。撇頭我看到斗室的白色牆壁上的一行字: 莫札特在這個房間出生。那一刻，我是真的激動了。

這間房間的旁邊就是廚房. 順著廚房的小天井過道，可以遠眺到教堂。是啊，幾百年前，莫札特的母親也望著同樣的景色，作著一餐又一餐。她會知道她剛出世的兒子，會貧病而死，卻留下人類最美的遺產嗎。

2018, 森棚教官

2018 費爾茲獎二三事

四年一度的世界杯足球賽在前陣子熱鬧結束. 但數學界可能更關心的是和世界杯足球賽同步, 也同樣四年一度的 Fields Medal (費爾茲獎).

就像東尼獎之於舞台劇與音樂劇, 奧斯卡獎之於電影界, 曼布克獎之於英文小說, 普立茲獎之於新聞, 或諾貝爾獎之於科學界, 費爾茲獎是數學界是最受矚目兩個獎之一 (另外一個是阿貝爾獎). 趁著今年費爾茲獎剛剛頒發, 這個月我們來閒話一下這個對一般人而言相對陌生的獎.

費爾茲獎的正式名稱為國際傑出數學發現獎 (The International Medals for Outstanding Discoveries in Mathematics) . 之所以叫做費爾茲獎, 當初是由加拿大數學家菲爾茲捐款籌設的. 從 1936 年起, 每四年在國際數學家大會上宣佈得主並頒發獎牌.

這個獎在眾多數學獎中特別著名, 可能來自於幾個原因. 首先, 人人都知道的諾貝爾獎, 有生物獎, 物理獎, 化學獎, 醫學獎, 卻沒有數學獎. 為什麼諾貝爾獎沒有數學獎, 這已經是無頭公案. 總之沒有數學獎是一個事實. 因此, 一個與諾貝爾獎相當的數學獎就受到關注.

再者, 費爾茲獎每四年才頒一次, 每次得獎人不超過四位. 四年才一次哪, 比起年年都頒的諾貝爾獎, 感覺起來更是稀有甚多.

四十歲的限制

然後, 費爾茲獎的規則完全吸引了眾人的目光. 這個規定就是 "只頒給四十歲以下的數學家". 更精確地說, 得獎者須在頒獎該年元旦前未滿四十歲. 這個規則完全正加強了社會大眾對於 "天才" 的想像, 更加深了 `數學' 的困難, 神秘與深度.

四十歲真是一個極端嚴苛的條件. 就拿臺灣學界的正常進程來說吧, 拿到博士學位, 作完博士後研究, 找到教職通常都已經三十出頭了. 要得獎, 等於在短短十年要攀爬到學術的最頂端. 比起諾貝爾獎得主的蒼蒼白髮, 費爾茲獎得主正當盛年, 看看得獎者的照片, 每一個真的都是一時俊彥.

為什麼只頒給四十歲以下的數學家? 因為數學界 "大致上" 可以認同, 數學家最原創的創造力通常會在四十歲之前.

這當然有兩面的看法. 樂觀的看法是, 這樣的限制激勵年輕的數學家盡最大的可能, 在年輕有體力也有創意時, 做出最好的結果. 的確, 歷來得獎的工作都真的非常傑出.

但是悲觀的看法是, 這是否表示數學家四十歲以後如果做不出大結果, 就 "無用" 了呢? 所幸這幾年的幾個例子駁斥了這個悲觀的觀點. 比如張益唐關於孿生質數猜想的重大進展, 在他接近六十歲時才發表.

平心而論, 數學的世界如此廣大與深邃, 許多的好工作與好數學家還是要經過時間的焠煉才能真正彰顯價值. 四十歲距離退休真的還有很長一段時間, 有些數學家的長期工作與影響力, 幾十年的累積後是相當不得了的. 因此從 2003 年開始, 數學界多了一個阿貝爾獎 (Abel prize). 得獎者都是有大年紀的超級大師, 得獎原因都是以學術生涯的整體成就衡量.

好事者可能想知道獎金有多少 --- 費爾茲獎獎金約三十五萬台幣,  阿貝爾獎的獎金將近三千萬台幣. 因此比起費爾茲獎, Abel 獎更像諾貝爾獎. 費爾茲獎現在被認為是年輕數學家的最高榮譽, 而阿貝爾獎像是是終身成就獎.

2018 的得獎者, 與戲劇性的情節

2018 年的費爾茲獎得獎者有四位, 分別是英國劍橋大學的 Birkar, 瑞士蘇黎世聯邦理工學院的 Figalli, 德國波昂大學的 Scholze, 以及美國史丹佛大學的 Venkatesh.

Birkar 研究的領域是代數幾何, 得獎原因是在 Fano varieties 和 minimal model program 的貢獻, Figalli 的獲獎原因是因為對最優運輸理論 (Optimal transportation) 的貢獻, Scholze 發展了算數代數幾何的理論與嶄新的上同調理論 (cohomology), 而 Venkatesh 得獎因為由於對表現論, 拓樸學, 數論的綜合貢獻.

隔行如隔山, 我要承認我懂的東西只摸得到其中一位得獎者的工作的邊, 而且即使如此, 也無法深入淺出向讀者介紹 --- 因為牽涉到太多的專有名詞和概念了. 然而外行看熱鬧, 今年的費爾茲獎最戲劇性的發展就是 --- 獎牌被偷了.

事情發生在得主 Birkar 身上. 就在他領獎後的不久, 他發現他的公事包不見了. 公事包裡有剛剛拿到的費爾茲獎獎章, 皮夾, 以及行動電話. 公事包最後在會場外找到, 但是獎章就這樣不見了. 目前為止, 嫌犯是誰, 獎章在哪, 都還沒有下落.

少年英雄

費爾茲獎得主名單在公布前是絕對保密的. 2014 年在韓國的國際數學家大會前不久, 我訪問韓國與一位數學家共餐. 他剛好負責頒獎典禮籌備工作, 應該是已經知道得獎者名單了. 但我們一聊到費爾茲獎, 他就說, "你不要問, 我也不能說. 得獎名單是最高機密."

所以每逢國際數學家大會前, 網路上總會有許多費爾茲得獎者的臆測. 但今年, 所以人都預期 Scholze 會得獎. 他也不負眾望, 僅僅三十歲, 就拿到費爾茲獎.

對於 Scholze, 大概只能很俗氣地用 `天才' 兩個字來形容. 僅僅 24 歲時, 他就成為全德國最年輕的 `正教授'. 迄今已經拿過幾個數學大獎, 包括拉馬努金獎, 費馬獎, 萊布尼茨獎.

我知道 Scholze 甚早, 而且和高等數學無關. 他在高中時代參加過四次國際數學奧林匹亞競賽 (IMO, International Mathematical Olympiad), 除了 2004 年拿了銀牌, 2005, 2006, 2007 都拿到金牌. 而這四年, 就剛好是我帶隊奧林匹亞的頭四年. 各國學生之間都會有耳語, 所以很早我知道 Scholze 遲早是個不得了的人物. 奧林匹亞各國參賽學生有一個社群, 這幾年大家都在關注 Scholze 的學術成就. 這些參賽選手已經都是非常優秀, 但對於 Scholze, 眾人還是一面讚嘆, 一面期待.

他的費爾茲獎得獎工作粗略說起來並不是在解難題, 而是創造了一個新的理論框架. 這個理論框架是全新的, 而且利用這個框架可以對以往的理論與難題有嶄新的角度與理解, 後續的影響力可以說非常非常大. 他現在才三十歲! 我有強烈的預感他會像以往也得過費爾茲獎的大師  Grothendieck 一樣, 在某些數學領域上改變整個領域研究的樣貌. 我們拭目以待.

典型在夙昔

最後我要藉這個專欄紀念上屆 (2014) 費爾茲獎得主米爾札哈尼 (Mirzakhani). 米爾札哈尼是費爾茲獎有史以來第一個得獎的伊朗人, 更是第一位女性得獎人. 她的得獎激勵了非常多的中東數學家, 也激勵了全球眾多的女性數學家.

她這樣可期待的燦爛未來, 卻在 2017 年因為乳癌就過世了. 年僅四十! 去年在數學家群組信中得知她過世的消息時, 當場驚愕到無法反應. 這麼優秀的頭腦, 就這樣消逝了. 才四十歲哪.

仰望

說實在, 費爾茲獎離大眾真的是非常遙遠. 諾貝爾獎得主的貢獻與在實際科學上的用處, 通常可以舉例子或是形容給普羅大眾理解. 但是純數學研究, 要解釋給一般人懂幾乎是不可能的. 甚至, 不在同一個領域的數學工作者, 對於費爾茲獎得獎者工作的內容也很難有概念. 因此, 對於這個天邊一般的獎, 一般數學家真的能體會的, 也只有得到這個獎要多麼傑出以及多麼不容易. 眾人能言說的, 大概就只剩下許許多多的軼事.

但是這樣也無妨. 就讓學子們仰望群星, 總有幾個人會激起有為者亦若是的雄心與壯志.

2018, 森棚教官

森棚教官的數學題

今年丘成桐數學獎, 以及全國科展, 有好幾件作品的原始問題都是我在科教館 "科學教育月刊" 專欄 "森棚教官的問題" 中的小題目. 我是一則以喜, 二則以憂, 再者以奇.

喜的是這些好問題的的確確被看見, 而且經過學生的發想與巧思, 有幾個還出現了連我都意外的開展. 學生的創造力真是有無限的可能.

憂之一是這表示第一線老師們開發新問題的能力太薄弱. 有現成的當然是方便, 但多年科展評審的經驗表明許多題材一直反覆出現, 說真的評審群都看膩了. 題目選不好就先輸一半了. 我仍期待每一次的科展有更多讓人眼睛一亮的新問題. 今年高中組就有幾件非常好.

憂之二是在專欄的每個問題中, 我事實上非常故意地把問題背後我能看到的好數學藏起來, 只留下學生可以理解的線頭. 但心裡卻是期待是否有哪個學生可以挖出一堆寶. 但是目前為止的作品探索大部分都還停在表面, 還沒有看到哪個作品有從線頭抓到整個毛線球. 當然, 也有看到往另一個方向走出一片天, 這也是研究數學的樂趣. 只是知音難尋, 還是有點遺憾.

奇的是我自己覺得專欄中最好的幾個題目卻都沒人作, 反而幾個我覺得平凡的同時被全國各地的好幾組挑中. 這實在很微妙.

這些都不是什麼偉大的問題，但是從每個問題都可以挖到一點點好數學，體會一點點探索的樂趣。臺灣學生這麼聰明，卻花了太多時間解制式化問題，長久下來, 忘掉自發發想的能力, 也忘掉享受發現的辛苦與喜悅. 沒有自發的動力, 就會毀掉創造力與夢想. 這個專欄也算我小小的期許，期許為有緣的師生開一道探索的門, 從而擁有主動學習的好習慣。

月初編輯通知我, 科學教育月刊因不敷成本，紙本已經停刊, 下個月會轉為網路版。一開始有點惋惜, 但轉念一想, 這也不是壞事. 就期待網路可以吸引更多的讀者吧。

2018, 森棚教官

科展分區

我擔任全國科展評審快十年, 今天才終於搞清楚奇怪的地區分區和屆數. 以下是今年(2018)年科展的分區和稱呼.

例：2018 年全國科展 = 全國 58 屆 = 北市 51 屆 = 新北 106 學年度 = 南六區 58 屆 = 連江縣 107 年度.

全國 58 屆
分區 58 屆
    北一區 基隆市、宜蘭縣、東莞臺商子弟學校、華東台商子女學校
    北二區 新竹縣（市）、苗栗縣
    中三區 南投縣、彰化縣北區
    中四區 彰化縣南區、雲林縣、嘉義縣（市）
    南五區 臺南市（原臺南縣、臺南市）
    南六區 高雄市（現高雄市內原高雄縣國立及私立高中、高職）、屏東縣、澎湖縣
    東七區 花蓮縣、臺東縣
北市 51 屆
新北 106 學年度
桃園 58 屆
台中 106 學年度
連江 107 年度

你看看, 這有多複雜.

我知道有歷史和地緣的緣故, 是啦, 但是台北市(屆數自己數自己), 彰化(拆成南北), 還有馬祖, 真的很莫名. 我是評審, 總是不停找資料確定學生的作品有新的東西. 每年各地承辦學校都會做網頁, 但是各自獨立, 大概都是包給資訊公司, 所以毫無橫向聯繫. 要找同一區不同年的資料, 找起來完全令人挫折及上火. 各地主管實在該好好統一一下, 用同一個網站入口, 改成同一個學年度表法. 這種政績很容易做的, 一個公文加上幾萬塊的經費就一勞永逸了. 

然後, 更扯的是, 全國能力競賽的分區和科展不一樣. 全國能力競賽評審我也當了超過十年, 到現在我還搞不清楚各地的分區. 前幾年有一次新北市的競賽還在新竹辦, 這實在是非常暈眩.

2018, 森棚教官

摺紙: 數學教學的寶庫

底下是最近幫世茂出版社 "摺紙計畫"寫的序. 這本書我非常推薦給中小學的數學老師 !!

摺紙: 數學教學的寶庫

讀者手上這本 "摺紙計畫" 是一本非常特別的摺紙書.

這本書透過三十個摺紙專題計畫 (project) 介紹各式各樣的數學理論. 每一個計畫的活動都設計成學習單講義的模式, 透過摺紙的實際操作解答講義的問題, 然後引進背後的數學理論.

單純喜歡摺紙的人, 可以不用理會這些數學理論. 一樣可以透過學習單講義享受摺紙的樂趣. 但這本書的野心與目標是連結摺紙與數學. 對於同時喜歡摺紙與數學的學生, 懂著欣賞幾何之美的學生, 現任或未來的中小學數學教師, 甚至數學系的教授, 這是一本難得的結合數學, 摺紙, 與教學的夢幻之書.

年少的青春

應出版社邀請寫這篇導讀, 使我回憶起年少時沈迷於摺紙的時光. 我個人對 “簡單規則卻能千變萬化” 的事物 (比如音樂, 數學, 文字, 手工藝等) 有天生的偏好. 摺紙的規則簡單, 但是千變萬化, 完成的作品有高度的美感, 中間又藏著抽象的理論, 剛好切中我心. 因此我很早就關注摺紙 --- 四十年前讀小學時我就用零用錢買摺紙書了. 而有系統蒐集摺紙書與資訊, 可以追溯到三十年前. 多年下來書架上蒐藏的摺紙書已經數以百計了. 本書第一版在 2002 年出版時, 我就已經從美國郵購了一本珍藏.

摺紙受到學界重視是近二十年的事, 因此此間理論的發展有相當的進展. 第二版不管是在數學深度, 摺紙內容, 活動設計上都比第一版更加豐富, 整整多了一百多頁的篇幅!

享受摺紙的魅力我一直以為是非常小眾, 只能獨樂樂而不足為外人道的樂趣. 再加上人人聞之色變的數學, 就更不用提了. 現在竟然能有中文版的出版, 是以前的我完全無法想像的. 底下且讓我簡單導讀一下這本書.

摺紙的演進與摺紙的數學

在數十年前, "摺紙" 基本上都還停留在對基本基礎形 (base) 的改變 -- 比如折紙鶴時得到的鳥基礎 (bird base) 可以折出一系列各式各樣的鳥. 八０年代日本與歐美都各自出現了革命人物: 日本的前川淳 (Jun Maekawa) 把折線的角色和折疊原理做了根本的分析, 美國的 Robert J. Lang 用解構的方式設計新作品, 從此摺紙界進入爆炸性的進展. 摺紙界流傳一句豪語: 沒有什麼是一張紙折不出來的!

隨著大量新的摺紙好手投入, 眾多不可思議的作品紛紛出現. 摺紙的數學面向也開始被挖掘. 不僅包括了原本摺紙界就知道的模組摺紙 (Modular Origami) -- 即利用諸多同樣小單位拼成一個立體的摺紙, 更產生的新的折紙數學理論. 這些新發掘的理論除了將摺紙與數學的各面向連結之外, 比如摺紙公理化, 剛體摺紙等更有內在的數學深度. 甚至, 一些摺紙引出的數學問題至今仍無法解決.

但是回到摺紙本身, 規則是如此簡單啊 -- 就一張紙和一雙手就可以了. 這些, 使得摺紙在數學教學上成為一個易入門又豐富的寶庫.

用摺紙學數學

這正是這本書的切入點. 這本書的理念是 "摺紙背後有數學, 而且可以用摺紙學數學".

我自己在教代數的群論或組合數學時也會讓同學摺紙, 也曾到不少學校演講過摺紙與數學. 學生的反應通常非常熱烈, 因為數學只有在真正動手做過才會深刻理解. 本書作者蒐羅可以用摺紙呈現的數學題材, 累積到足以成書的份量, 已經非常不簡單.

這本書的架構是這樣的: 全書包含了三十個課堂活動. 每個活動包含三個部分.

第一部分：活動的簡單介紹, 並說明此活動適合哪些課程使用
第二部分：講義 (即我們所說的學習單), 常有數個版本可供挑選
第三部分：講義的解答, 以及背後的數學理論, 評註與教學法建議與可能的延伸活動.

以活動一為例:

第一部分：活動一的目的是在正方形中折出正三角形, 適合微積分先修, 初等代數, 三角函數, 幾何課, 微積分最佳化, 建模等.
第二部分：有三個版本的講義可供挑選.
第三部分：用代數, 三角, 幾何, 微積分來分析問題.

不像一些科普書籍用與數學無涉的故事充篇幅, 本書的題材與數學的分析真的都是言之有物. 市面上談摺紙與數學的書其實有不少, 但多半只關注以下幾個面向之一: 多面體, 畢氏定理, 螺線, 圓錐曲線.

以上這些面向的確都很有趣. 但是這本書探討的數學遠不只此. 身為一個熱愛摺紙的數學家, 我必需說本書牽涉到的數學題材的多元讓我嘆為觀止, 遠遠超過一般談摺紙與數學的書. 底下再給出一些關鍵字, 有一些數學背景的讀者可以很快地理解這本書的廣度: 三角函數, 解三次方程, 三等分角, 等份線段, 巴克球, 環面, 碎形, 矩陣, 剛體運動, 雙曲拋物面, 同態, 高斯曲率.

這些數學主題愈到後來愈加深入, 最後幾個已經完全脫離中學數學, 進到高等數學. 這樣廣度討論數學與摺紙的書, 目前找不到第二本.

教學的熱情

本書作者 Thomas Hull 是美國麻州西新英格蘭學院 (West New England Colleage) 的數學系教授. 西新英格蘭學院是教學研究型大學. 這一類大學中不乏許多專業實力堅強, 但是對教學懷抱極大熱情的教授, 對教學內容的鋪陳, 設計與呈現有非常獨特的見解 -- Hull 就是這樣的教授, 這本書就是他真真切切在課堂上開 "摺紙數學" 這門課所用的材料. 其中若干內容也用在幾何學, 圖論, 微積分課堂上.

這些題材的呈現經過作者精心的設計, 更不容易的是真正的實地試教與反饋. 作者非常誠懇, 每一個活動都需要的時間, 給教師的各種建議 (甚至包括要去哪裡拿免費的紙, 要用什麼紙效果最好), 以及課堂上學生可能會有的反應, 也非常翔實地敘述, 數學理論更是紮紮實實. 這樣有數學紮實的專業, 又熱愛教學的認真實在令人感佩.

這本書牽涉到的數學面向非常廣且愈來愈深, 譯者也做了相當的努力, 將原作者的熱情做了忠實的傳達. 欣見中文版的出版, 這是出版社的遠見. 因為十二年國教已經開始實施, 未來的數學課堂有許多的分流機會, 教師自主與設計課程的能力就需要更加靈活. 最近已經有若干教師設計出一些利用摺紙的教學教案, 是相當可喜的.  期待這本書能使台灣的數學課堂更加精彩, 更加豐富, 也更加熱鬧.

2018, 森棚教官

古巴革命

    因緣際會讀到關於古巴的文章. 記錄心得在這裡.

    1959 年卡斯楚在古巴成功革命, 推翻了原來獨裁的巴蒂斯塔政權, 卻在建立政權後迅速與美國交惡. 美國忙著想推翻卡斯楚, 1961 年發動暗殺卡斯楚的豬玀灣事件以失敗告終. 剛上任三個月的甘迺迪於此事件大失敗, 古巴轉而投向蘇聯, 導致 1962年的古巴飛彈危機.

    卡斯楚憎恨美國, 又是天生的革命戰士. 他把古巴革命成功的原因歸功於有一群敢死的有理想的游擊隊員. 當這些隊員發起的行動擴大成民眾的行動, 革命就八九不離十了. 為了讓美國難看, 也為了他自己的理念, 卡斯楚因此讓許多國家的游擊隊到古巴接受訓練, 期能在拉丁美洲複製古巴的革命經驗.

    拉丁美洲一向被認為是美國的後院, 現在有一個古巴如芒刺在背, 居然還幫忙教其他國家如何革命, 美國當然無法容忍. 1960 年代的拉丁美洲許多國家貧富懸殊, 政治腐敗, 社會動盪, 正好是革命的好搖籃. 古巴的成功成為典範, 給這些國家理想派或主戰派的改革者非常大的鼓舞. 因為古巴的啟示或訓練或贊助, 意圖推翻政府的游擊隊在以下幾個國家出現: 委內瑞拉, 瓜地馬拉, 尼加拉瓜, 宏都拉斯, 多明尼加, 秘魯, 阿根廷.

    眼看著就是風雨欲來, 每一步都會影響歷史. 1961 年甘迺迪當選美國總統才 45 歲. 他的總統形象一直是帥氣的. 但是讀這些史料, 我才對他當時承受的巨大壓力能體會一二. 要當這樣的職位, 抗壓性真的不是一般人能想像的. 美國用盡方法防堵各國崛起的游擊隊. 畢竟國力懸殊, 委內瑞拉, 秘魯, 尼加拉瓜, 多明尼加, 阿根廷的游擊隊都被殲滅.

    1967 年卡斯楚奮力一擊. 他的麻吉切格拉瓦 (Che Guevara) 親率游擊隊到玻利維亞進行革命. 切格瓦拉是是阿根廷人, 卻是古巴革命的副指揮官. 他是革命家, 亦是游擊隊領袖, 直到現在仍然是許多左派青年的偶像. 他的頭像剪影不時出現在 T 恤上, 已經是一個文化象徵.

    因此玻利維亞一役是主帥親征, 但是只從三月進行到十月. 十月八日切格拉瓦被捕, 隔日處決. 卡斯楚想藉由發動各國革命從而與美國對抗的幻夢從此幻滅. 但即使如此, 幾十年來古巴都能在美國的威嚇下獨力發展, 這一點真是令人佩服. 小國如何讓自己不可忽視, 實在值得想想.

2018, 森棚教官