紙工藝

做紙手工藝是從小的嗜好.

聰明又不善與人相處的敏感小孩，在書本中找到寧靜.

這一兩年穩定下來了，終於可以回頭來享受這從小的孤獨樂趣. 研究室和家裡充滿了我的紙工藝, 立體動物, 車子.

懶得也沒空自己設計，都是找現成的，而且不要太複雜, 做起來好看, 心情就好好. 蒐集一堆根本沒空做，但是就是很愉快.

從淘寶買給小教官便宜的紙雕恐龍和車車, 都裁好了圖樣，直接從厚紙板上扳下來, 膠帶黏合就了事. 我做得愉快, 他也愛不釋手. 一本八隻恐龍, 每個星期作一隻.

最近發現珍珠板 3D 拼圖更方便, 一個都十幾分鐘就搞定. 比紙雕方便甚多 (紙雕還要自己剪). 作日本壽司屋，小巧精緻，拉門和窗戶還能開. 放在研究室, 讀書累了就拿起來看看, 超級療癒.

電影大國民的主角大亨臨終前吐出的 "rosebud", 整部片上下蒐羅仍然無解, 但句末一幕才發現不過就是小時的滑板上的字樣. 以前囫圇吞棗看這部片根本不懂，現在我可以體會這種念茲在茲的心情了. 有些東西真的要年紀的.

男人的心中終究永遠有一個男孩子, 我想起我小時候珍視的一本寶貝書, 是日文翻譯的，教小朋友怎麼做紙雕. (幾年前終於買到原版的日文書，成為珍藏). 我依稀看見自己小學時的身影. 跑去巷口的書局買各色的海報紙和複印紙, 然後一個下午桌上就是企鵝, 獅子, 老虎

願自己永不失赤子之心。


2016, 森棚教官

拉馬努金, 數學的孤獨與堅持

上一篇文章介紹了數學家拉馬努金彗星般的一生。他留下大量的材料, 至今仍讓數學家和物理學家有許多工作。

但回顧拉馬努金短短的一生，不禁有許多感慨。離開印度到英國，是讓他成為頂尖的數學家，卻也害了他水土不服三十二歲早亡。如果留在印度，是否就能安享晚年? 或者如果能適應英國，多做三十年數學，當代數學的風貌是否會很不相同?

這些沒有答案的問題，一直困擾著邀請他去英國的哈代。電影 “天才無限家” 中拍出了哈代的失落，拍出了拉馬努金的掙扎, 也拍出了兩人交鋒的火花.

哈代不只一次問拉馬努金, 到底你是怎麼思考的? 那些傾洩而出的神秘等式是怎麼發現的?。拉馬努金總是回答，我向印度家鄉的女神祈禱。每天早上醒來時，我就把女神告訴我
的式子寫下來。

無神論者哈代無法接受。他們兩人思考方式完全不同。純粹數學是一種需要高度智力的思考活動. 過程人人不同. 因此從這個角度來說, 數學家都是孤獨的.

哈代有伯樂的眼光, 他完全知道拉馬努金是千里馬. 但是他也知道拉馬努金一定需要紮實的數學語言訓練，才能跟數學界溝通, 從而被承認肯定.

再怎麼有才華的鋼琴家, 還是要練音階. 但是練基本功需要時間. 拉馬努金急著把滿溢的成果傾倒而出. 他不明白數學語言的必要, 為什麼要這麼慢, 哈代竟然還要要求他去課堂上聽課!

他對哈代大吼, 我放棄了一切來到這裡! 你知道嗎!

每一個數學家都會說數學很美麗。而且就是為了這種不可名狀的美麗, 甘心獻身投注一輩子的時光. 片中有一幕我非常喜歡。哈代問拉馬努金, 為什麼要寫下這些東西. 拉馬努金眼睛閃著光芒回答說, 我必須要做. 這是我的天命.

所以數學家想留下什麼呢?

數年前某個陰熱的下午, 我到中央研究院數學所查資料. 中研院數學所圖書館有非常驚人的紙本期刊收藏, 重要期刊都全套齊全, 從上個世紀初一直到現在, 一期也不缺. 每本期刊在這裡都已經靜靜放了數十年。

我在闃黑, 深幽, 高聳的書架中裡穿梭, 在數以萬計的館藏中, 尋找翻閱十年前, 二十年前, 甚至五十年前出版的論文. 在字裡行間讀著早已作古的同行前輩數學家的想法, 隔著時空與他們對話.

離開前, 我順道翻開了一本期刊, 上面有我自己十幾年前第一篇出版的學術論文. 數學定理一旦證了出來, 不管是多麼渺小的成果, 它就是永恆的. 我知道如同其他數以萬計的論文一樣，它會一直留在圖書館中, 五十年, 一百年, 等待下一個求知若渴的學生或是學者, 再度翻開.

與古人對話, 留下自己的成果, 與未來的人對話. 在時空中, 留下永恆的印記. 這是數學家的堅持與夢想.


2016, 森棚教官. (原文應天才無限家之威視影視邀請撰寫, 刊登於天下文化網路版.)

彗星般的天才數學家 — 拉馬努金, 註記

上文中, 一些數學的註記 (就是太複雜或專業而刪掉的部分)

用無序的正整數湊成 n 的方法數叫 partition number p(n).

Euler 很早就給了 p(n) 的生成函數. 令 P(z) = sum p(n) z^n, 則

          P(z) =  product 1/(1-z^k)

"理論上", p(n) 就是 P(z) 的 z^n 係數 (為方便記為 [z^n] P(z)). 但是這實際上對於算出 p(n) 的精確值是多少, 基本上沒什麼幫助. 比如說, 你怎麼說明

        [z^1000] P(z) = 24061467864032622473692149727991

呢?

在 Hardy-Ramanujan 的突破性進展之前, 關於 p(n) 的精確值最好的結果是 Hardy 的同事 MacMahon 得到的遞迴式

   p(n ) = p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) - p(n-12) - p(n-15) + + - -...

其中括號中 是 "n-五角數". 五角數是 n*(3n-1)/2, 這裡 n 可代非零整數. 這個公式的推導基本上只用到 Euler 的五角數定理與上述的 P(z). 所以, 的確, 在 n 夠小的時候, 是可以用這個方法求出 p(n). (附帶一提, 即便有下幾段的結果, 據我所知目前為止此式仍然是最有效率求 p(n) 精確值的方法.) 但是即便有 MacMahon 的遞迴, 對於一般的n, 連 p(n) "大概有多少" 仍然束手無策, 更遑論精確值了.

換個想法, 既然有 P(z), 那用複變的柯西積分公式 (contour 積分的手法), 把係數取出來不就得了. 是的, Hardy-Ramanujan 就是走這條路.

Hardy-Ramanujan 的突破是用複變, 首度給出 p(n) 的漸近式

           p(n) ~  1/(4*n*sqrt(3)) *exp (pi* sqrt(2n/3))

事實上 Hardy-Ramanujan 給了更精確的漸近展開式. 以上是主要項. 那個更精確的式子誇張到無法形容. BBS 太難打了 可找下列連結網頁搜尋 "asymptotic expansion"
https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

電影 "天才無限家" 中 Ramanujan 在 Hardy 辦公討論這個問題, Ramanujan 在黑板上算的就是 contour 積分.

電影中有一幕相當精采. Hardy 苦心想讓 Ramanujan 被劍橋的同事承認, 於是拿這個還不太有把握作出來的結果去跟 MacMahon 打賭. MacMahon 是組合學的大師, 他用手算算到p(200)=3972999029388, 根本不相信 Ramanujan 能有什麼突破. Hardy-Ramanujan 用他們的漸近公式的主要項就得到非常接近的值. 兩造翻牌對答案, MacMahon 從原本對Ramanujan 嗤之以鼻, 變成大力擁護.

那到底 p(n) 有沒有精確公式? 有的, 有一個 "無窮級數和公式", 直到 1937 年才由 Radamacher 做出來, 他一樣走複變路線, 引進新的方法改進了 Hardy-Ramanujan 的結果. 這個無窮級數和公式也是很微妙, 比如要算 p(200), 要把無窮多項相加, 加完之後就得到答案.

你想, 這是搞什麼, 要 "加無窮多項" 才得到答案, 這公式有用嗎? 有的. 這個無窮級數會收斂, 而且收斂得非常快 (就是說, 只要加了前幾項剩下的都是小數點, 後面微不足道了). 以 p(200) 為例, 這無窮多項只要算到前七項就有

3972998993185.896...
       +36282.978...
          -87.555...
           +5.147...
           +1.424...
           +0.071...
           +0.000...
           +0.043...
= 3972999029388.004...


那公式長怎樣? BBS 上太難打了. 一樣參考下列網址尋找 "Radamacher" https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

而且看完後, 會覺得 MacMahon 的遞迴式子還比較有用一點.

Ramanujan 在 p(n) 的發現不只如此. 比如, 他看出了 p(5k+4) 一定是 5 的倍數, p(7k+5) 一定是 7 的倍數, p(11k+6) 一定是 11 的倍數. (下一個類似的性質是p(17303k+ 237) 一定是 13 的倍數 (!), 要到 40 年後的 1960 年才被找到.)

又比如神秘的 Roger-Ramanujan 等式, 其中一個是"相鄰兩數至少要差 2" 的湊 n 方法數 = "每個數要除以五餘 1 或 4" 的湊 n 方法數這個等式居然和高能物理有關.

p(n) 的研究至今仍非常活躍, 還有非常多神秘的問題未解.

最後推薦一下 "天才無限家" 這部電影. (感謝片商為了寫推薦文先讓我一睹黑白版毛片) 這部電影並不灑狗血, 但是把數學家的一些心路歷程拍得深刻而感人.

唉, "理論上" p(n) 就是慢慢列出來再數一數有幾種就好了不是嗎, 數學家這麼辛苦在追逐什麼呢. 這真是不足為外人道也. 一歎.

2016, 森棚教官

彗星般的天才數學家 — 拉馬努金

1913年春天，當時全世界最好的數學家之一， 英國劍橋大學的戈弗雷‧哈羅德‧哈代（G.H. Hardy） 接到了遠從印度寄來的，郵戳 1月16日，一封厚厚的信。開頭寫著：「敬愛的教授，我是馬德拉斯的一個職員，現年23歲。這些是我的發現，可以幫我看看嗎。」接下來是一長串的十多個數學公式，只有式子，沒有前後文，沒有理由。

貌似無厘頭的式子寫滿了九張信紙。哈代一開始以為是惡作劇。但是愈仔細看信就愈看愈怪—這些式子好像都是對的。不僅如此，有好多個式子他從沒看過；更誇張的是，連他也無法證明！驚愕之餘哈代找來他的數學家好友約翰‧恩瑟‧李特爾伍德（John Edensor Littlewood） 一起端詳這九頁的信。他們的結論是，這是一個不世出的天才。

2月8日，哈代回信，邀請這個神秘的天才年輕人到英國來討論數學。

這個寄信的年輕人叫斯里尼瓦瑟‧拉馬努金（Srinivasa Ramanujan），有史以來最神奇的天才數學家。

1913年距今一百多年。那時沒有電子郵件，沒有行動電話，沒有民航機。遠渡重洋，就要遠離家人，遠離年輕的妻子與年邁的母親，遠離過去，遠離熟悉的一切。幾經周折，女神在夢中說服了拉馬努金的母親。拉馬努金終究離開印度，踏上未知的路。

到了英國，拉馬努金隨即面臨巨大的衝擊。以數學的角度來看，一個式子不管看起來再怎麼奇妙，一定要有證明才能保證正確。但是拉馬努金沒有受過完整的高等數學訓練，在印度幾乎全憑直覺與自學，他不覺得“把證明寫下來”是一件重要的事。因此他在英國等於要重頭開始，他花了許多心力熟悉數學的語言。皇天不負苦心人，拉馬努金和哈代不久就合作寫出一篇傑作。

這是連幼稚園小朋友都懂的問題。如果只能用正整數和加號，有多少種方法可以湊成4？答案有五種。

                  4， 3+1， 2+2， 2+1+1， 1+1+1+1

（順序不計，3+1 和1+3當作同一種）讀者可以現在試試，有七種方法可以湊出5。

這裡挑戰一下讀者，若湊成10有多少方法？答案放在文末。

是的，慢慢試好像還是可以得到答案。但很快地情況就難以控制了。你無法想像湊成100有190569292， 超過一億九千萬個方法！那有多少方法可以湊成1000， 或更大的數？歷代數學家完全束手無策，但這又是數學上根本的重要問題。哈代和拉馬努金得到了估計公式，用他們的公式得到的答案與精確值的相對誤差可以接近到零。電影《天才無限家》生動描述了用他們的公式估計出湊出200的方法數是如何震攝了數學界。

這篇劃時代的論文讓拉馬努金一夕成為最頂尖的數學家之一。他和哈代再接再厲， 合寫了許多文章，每一篇都擲地有聲。1918年，拉馬努金被選為英國皇家學會會士與劍橋大學三一學院院士。

但命運之神就是這樣捉弄人。 印度四季酷熱，英國冬天濕冷。拉馬努金吃素，但正值一次大戰的英國蔬菜短缺。營養不良、不適應天氣，加上思鄉，拉馬努金病倒了，醫生診斷是嚴重的肺結核和維生素缺乏。1919年，他決定回家。回到印度後不到一年，拉馬努金就過世了，得年32歲。

拉馬努金研究的領域是「數論」與「組合數學」。數論是研究整數的學問，而組合數學也稱為離散數學，在電腦科學上有著廣泛的應用，同時也是密碼學，人工智慧、資料庫、演算法設計與分析的理論基礎。他發表的論文包含了許多嶄新的原創想法，對數學和物理的理論推展發展有巨大的貢獻。身後留下的幾百頁的筆記本中有數以百計的式子，到現在仍然迷惑著數學家。數學界甚至有個高品質的學術期刊，就叫做拉馬努金期刊，刊登與拉馬努金的研究有關的論文。

就在下個月，描寫他一生的傳記電影《天才無限家》（The Man Who Knew Infinity）即將上映。 趁著4月26日是拉馬努金的忌日，在此僅用這篇文章紀念這個雖像慧星一樣一閃即逝，但耀眼的光芒到現在仍然閃耀的天才數學家。

（文中問題的答案：湊成 10 共有 42 種方法。很不好算吧！）

2016, 森棚教官. 原文應天才無限家之威視電影公司邀請撰寫, 刊登於天下雜誌網路版. 

ISEF 2016 數學科首獎

前天傳來好消息, 霈萱在美國ISEF 2016 拿到數學科首獎. 我是又驚又喜.

今年這件代表作品, 當初台灣的評審團是勉強推薦的. 霈萱非常努力, 的確做出了一些新的性質. 為了避免捉刀, 這兩年評審時我們特別盯著作品細問學生, 直到確定這鐵定是學生自己做的. 但是問題是, 這件作品是 150 前的射影幾何題材，Pascal 定理和 Bianchon 定理, 真的是太老了. 而且 150 年文獻如山一樣多，你想得到的點子別人都想得到啊. Google 一下有好幾萬筆資料耶, 幾個月都看不完. 所以誰知道這些新結果是 *真的* 新的結果, 或是出現在幾十年前的哪裡呢? 所以評審團真的很猶豫 (事實上每個評審都很猶豫).

但科教館堅持數學不推薦不行, 否則堂堂臺灣, 不推數學作品像話嗎, 於是就推薦了.

去年數學臺灣推了兩件去美國比賽, 其中一件拿到特別獎的數學會四等獎, 但大家最看重的大會獎兩件都槓龜, 科教館今年壓力就變大. 是的, 科展的確是不要把得獎看得太重比較健康. 但是, 一來, 臺灣的處境, 導致國家必須重視所有類似的國際比賽 --- 說實在, 出國比賽的教授和選手, 都有很強的使命感. 二來, 說不想得獎是假的, 哪一個奧運選手一開始就認定自己是去陪跑的? 三來, 這些作科展的學生對科學有大熱情, 想要被肯定的渴望和出國和各路好手爭峰心情一樣興奮 -- ISEF 是高中科展的天下第一武道會啊.

但是 ~~~ ! 就是這個但是~~~ ! 因為霈萱讀麗山, 麗山在台北. 所以從二月開始到五月出國比賽的其間, 作品數學部分的指導教授就變成我了. 科教館亦安排師大科教所譚老師加強英文部分 (他是香港人, 英文地道).

我也曾是猶豫的評審之一. 怎麼辦? 仔細思量後, 內容雖然一樣就是霈萱做的結果, 但是改成現代數學的思維來寫 --- 把純幾何的靜態問題, 變成研究算子之下的圖形變化.

海報就這樣一路大改版. 感謝好脾氣的譚老師, 我的數學部分一直改來改去, 他就只好每個星期重新幫霈萱看新的講稿. 霈萱這學生很不簡單, 抗壓性和調整能力非常高. 最後的出國海報版本, 基本上在 3/31 才定調 (剛剛複習了 email, 凌晨 2:08分 (好慘) 我寄出定調的海報. 早上 8:30 霈萱回信, 下午 1:30 譚老師回信), 這個版本和她當初國內參賽的版本觀點 *完全不同* --- 這表示她所有的海報和口語演示與對話要 *全部重來* . 離出國只有一個月了, 一般學生早就崩潰了, 但是她 EQ 甚高, 永遠溫溫笑笑地. 真的是一個不簡單的孩子.  

她來師大找了我三次, 其中兩次麗山的老師也一起來. 每次我們都從四點半討論到六點半, 從天還亮著, 討論到天暗肚子餓. 我的博士後每一次都被我拖下水來聽簡報. 中間有一次星期日, 我帶太太和小教官去科教館 (他超喜歡恐龍餐廳), 中間有一段時間我太太還被我拉到十樓培訓會場, 聽霈萱簡報. 三歲的小教官在旁邊不耐煩地扭動, 心裡只惦記著樓下的恐龍. 是的, 下次星期天你到科教館參觀時, 不要忘記十樓有一群教授和學生, 以及科教館的同仁在努力.

去年沒有數學科教授隨團, 今年科教館原希望我隨團. 但如果如此, 從二月到五月每個星期日, 都要去科教館一整天一起培訓各組代表. 小教官年紀尚小, 台北羅東分隔兩地, 我陪他的時候本就只有假日. 復以隨團五月出國十幾天, 五月底我自己還要去京都開會. 這樣不僅整個下學期假日就沒了, 而且學校的正課會亂成一團, 整個五月都不上課太不像話. 所以, 最後還是拜託譚老師隨團出國. 我和譚老師是合作愉快, 真的非常高興有這樣一個伙伴.

出國前我心裡預設最好情形是, 特別獎拿到數學學會三等獎, 大會獎三等或四等, 這樣就非常滿意. 如果什麼都沒有, 也沒關係, 本來科展拿獎就是說不準的. 去年嘉峻那一件動態系統, 我也覺得精彩, 但什麼也沒得到.

結果, 前天頒獎，霈萱拿到三個獎, 其中兩個居然是超級大獎:

1. 特別獎: 數學學會第三獎.
2. 大會獎: 數學第一名. 這是台灣暌違近二十年的數學第一名.
3. 還要被選去歐洲參加青少年科展, 這是數千件中只選三件的大榮譽.

我的天啊!

我替霈萱和她的指導老師林永發老師非常高興. 幾次在師大的討論, 就知道他們花了多少的心血在這個科展上.

這十幾年來我幫科教館帶 ISEF, 數學已經拿了好幾次大會二等獎, 但是都和一等獎無緣. 我自己沒有什麼執念, 不只是得獎與否很難說, 更因為心裡有底, 大概要作到什麼境界 (過去有兩個二等獎是我給的題目, 拿到 ISEF 的二等獎後, 繼續發展, 都變成學術論文, 一篇在 Advances in Applied Mathematics, 一篇在 Journal of Combinatorial Theory, series A. 這兩個期刊可不是開玩笑的). 一等獎我是根本不敢妄想的. 結果今年在無心之下拿到了, 真的是我完全沒預料到的. 謝謝霈萱, 也算圓了教官的一個小小願望.

得獎或許有一點運氣, 但是過來人都知道過程絕沒有僥倖. 這個問題她整整做了兩年多. 幾十個新的定理, 每一個都是心血結晶.

總之, 恭喜霈萱. 學術之路, 有這樣一個好的開始, 是非常美好的.

2016, 森棚教官