底下是最近幫世茂出版社 "摺紙計畫"寫的序. 這本書我非常推薦給中小學的數學老師 !!
摺紙: 數學教學的寶庫
讀者手上這本 "摺紙計畫" 是一本非常特別的摺紙書.
這本書透過三十個摺紙專題計畫 (project) 介紹各式各樣的數學理論. 每一個計畫的活動都設計成學習單講義的模式, 透過摺紙的實際操作解答講義的問題, 然後引進背後的數學理論.
單純喜歡摺紙的人, 可以不用理會這些數學理論. 一樣可以透過學習單講義享受摺紙的樂趣. 但這本書的野心與目標是連結摺紙與數學. 對於同時喜歡摺紙與數學的學生, 懂著欣賞幾何之美的學生, 現任或未來的中小學數學教師, 甚至數學系的教授, 這是一本難得的結合數學, 摺紙, 與教學的夢幻之書.
年少的青春
應出版社邀請寫這篇導讀, 使我回憶起年少時沈迷於摺紙的時光. 我個人對 “簡單規則卻能千變萬化” 的事物 (比如音樂, 數學, 文字, 手工藝等) 有天生的偏好. 摺紙的規則簡單, 但是千變萬化, 完成的作品有高度的美感, 中間又藏著抽象的理論, 剛好切中我心. 因此我很早就關注摺紙 --- 四十年前讀小學時我就用零用錢買摺紙書了. 而有系統蒐集摺紙書與資訊, 可以追溯到三十年前. 多年下來書架上蒐藏的摺紙書已經數以百計了. 本書第一版在 2002 年出版時, 我就已經從美國郵購了一本珍藏.
摺紙受到學界重視是近二十年的事, 因此此間理論的發展有相當的進展. 第二版不管是在數學深度, 摺紙內容, 活動設計上都比第一版更加豐富, 整整多了一百多頁的篇幅!
享受摺紙的魅力我一直以為是非常小眾, 只能獨樂樂而不足為外人道的樂趣. 再加上人人聞之色變的數學, 就更不用提了. 現在竟然能有中文版的出版, 是以前的我完全無法想像的. 底下且讓我簡單導讀一下這本書.
摺紙的演進與摺紙的數學
在數十年前, "摺紙" 基本上都還停留在對基本基礎形 (base) 的改變 -- 比如折紙鶴時得到的鳥基礎 (bird base) 可以折出一系列各式各樣的鳥. 八０年代日本與歐美都各自出現了革命人物: 日本的前川淳 (Jun Maekawa) 把折線的角色和折疊原理做了根本的分析, 美國的 Robert J. Lang 用解構的方式設計新作品, 從此摺紙界進入爆炸性的進展. 摺紙界流傳一句豪語: 沒有什麼是一張紙折不出來的!
隨著大量新的摺紙好手投入, 眾多不可思議的作品紛紛出現. 摺紙的數學面向也開始被挖掘. 不僅包括了原本摺紙界就知道的模組摺紙 (Modular Origami) -- 即利用諸多同樣小單位拼成一個立體的摺紙, 更產生的新的折紙數學理論. 這些新發掘的理論除了將摺紙與數學的各面向連結之外, 比如摺紙公理化, 剛體摺紙等更有內在的數學深度. 甚至, 一些摺紙引出的數學問題至今仍無法解決.
但是回到摺紙本身, 規則是如此簡單啊 -- 就一張紙和一雙手就可以了. 這些, 使得摺紙在數學教學上成為一個易入門又豐富的寶庫.
用摺紙學數學
這正是這本書的切入點. 這本書的理念是 "摺紙背後有數學, 而且可以用摺紙學數學".
我自己在教代數的群論或組合數學時也會讓同學摺紙, 也曾到不少學校演講過摺紙與數學. 學生的反應通常非常熱烈, 因為數學只有在真正動手做過才會深刻理解. 本書作者蒐羅可以用摺紙呈現的數學題材, 累積到足以成書的份量, 已經非常不簡單.
這本書的架構是這樣的: 全書包含了三十個課堂活動. 每個活動包含三個部分.
第一部分：活動的簡單介紹, 並說明此活動適合哪些課程使用
第二部分：講義 (即我們所說的學習單), 常有數個版本可供挑選
第三部分：講義的解答, 以及背後的數學理論, 評註與教學法建議與可能的延伸活動.
以活動一為例:
第一部分：活動一的目的是在正方形中折出正三角形, 適合微積分先修, 初等代數, 三角函數, 幾何課, 微積分最佳化, 建模等.
第二部分：有三個版本的講義可供挑選.
第三部分：用代數, 三角, 幾何, 微積分來分析問題.
不像一些科普書籍用與數學無涉的故事充篇幅, 本書的題材與數學的分析真的都是言之有物. 市面上談摺紙與數學的書其實有不少, 但多半只關注以下幾個面向之一: 多面體, 畢氏定理, 螺線, 圓錐曲線.
以上這些面向的確都很有趣. 但是這本書探討的數學遠不只此. 身為一個熱愛摺紙的數學家, 我必需說本書牽涉到的數學題材的多元讓我嘆為觀止, 遠遠超過一般談摺紙與數學的書. 底下再給出一些關鍵字, 有一些數學背景的讀者可以很快地理解這本書的廣度: 三角函數, 解三次方程, 三等分角, 等份線段, 巴克球, 環面, 碎形, 矩陣, 剛體運動, 雙曲拋物面, 同態, 高斯曲率.
這些數學主題愈到後來愈加深入, 最後幾個已經完全脫離中學數學, 進到高等數學. 這樣廣度討論數學與摺紙的書, 目前找不到第二本.
教學的熱情
本書作者 Thomas Hull 是美國麻州西新英格蘭學院 (West New England Colleage) 的數學系教授. 西新英格蘭學院是教學研究型大學. 這一類大學中不乏許多專業實力堅強, 但是對教學懷抱極大熱情的教授, 對教學內容的鋪陳, 設計與呈現有非常獨特的見解 -- Hull 就是這樣的教授, 這本書就是他真真切切在課堂上開 "摺紙數學" 這門課所用的材料. 其中若干內容也用在幾何學, 圖論, 微積分課堂上.
這些題材的呈現經過作者精心的設計, 更不容易的是真正的實地試教與反饋. 作者非常誠懇, 每一個活動都需要的時間, 給教師的各種建議 (甚至包括要去哪裡拿免費的紙, 要用什麼紙效果最好), 以及課堂上學生可能會有的反應, 也非常翔實地敘述, 數學理論更是紮紮實實. 這樣有數學紮實的專業, 又熱愛教學的認真實在令人感佩.
這本書牽涉到的數學面向非常廣且愈來愈深, 譯者也做了相當的努力, 將原作者的熱情做了忠實的傳達. 欣見中文版的出版, 這是出版社的遠見. 因為十二年國教已經開始實施, 未來的數學課堂有許多的分流機會, 教師自主與設計課程的能力就需要更加靈活. 最近已經有若干教師設計出一些利用摺紙的教學教案, 是相當可喜的. 期待這本書能使台灣的數學課堂更加精彩, 更加豐富, 也更加熱鬧.
2018, 森棚教官
